Métodos de sintonía PID a partir de la identificación del proceso

Introducción

En los artículos anteriores hemos recorrido dos etapas fundamentales. Primero entendimos el funcionamiento de P, I y D y construimos una implementación básica en Arduino. Después identificamos el proceso mediante un ensayo en lazo abierto o en lazo cerrado y obtuvimos parámetros como Kp, T₀, Tp, Ku o Tu. Ahora vamos a utilizar esa información para calcular la sintonía del controlador.

La diferencia respecto a una sintonía por prueba y error es importante. Ya no estamos modificando constantes hasta que la respuesta parece aceptable, sino partiendo de información medida sobre nuestro proceso.

Una sintonía no es una solución única

Dos métodos diferentes pueden proporcionar parámetros distintos para exactamente el mismo proceso y eso no significa necesariamente que uno de ellos esté equivocado. Cada regla de sintonía busca un compromiso entre rapidez, estabilidad, sobreimpulso, rechazo de perturbaciones, actividad de la salida y robustez frente a cambios del proceso.

Por tanto, debemos interpretar cualquier sintonía calculada como un punto de partida fundamentado. Posteriormente tendremos que comprobar cómo responde el proceso y, si es necesario, realizar pequeños ajustes. La diferencia es que ese refinamiento parte de un conjunto de parámetros calculado y no de números elegidos arbitrariamente.

¿Qué parámetros tenemos disponibles?

Si hemos realizado un ensayo en lazo abierto dispondremos aproximadamente de Kp, T0 y Tp, donde Kp es la ganancia del proceso, T0 el tiempo muerto y Tp la constante de tiempo dominante. Si, por el contrario, hemos identificado el proceso en lazo cerrado mediante oscilación sostenida o un ensayo de relé, tendremos Ku y Tu.

Identificación	Parámetros	Familia de sintonía
Lazo abierto	Kp, T0, Tp	Reglas basadas en respuesta a escalón / modelo FOPDT.
Lazo cerrado	Ku, Tu	Reglas basadas en ganancia y periodo último.

Cada familia de métodos utiliza unos parámetros determinados. No debemos utilizar una regla desarrollada para Kp, T0 y Tp introduciendo Ku y Tu, ni hacer lo contrario.

Simulación del proceso

Hay una diferencia práctica muy importante entre ambas identificaciones. En el enfoque que estamos utilizando, Ku y Tu nos permiten aplicar reglas de sintonía, pero no describen por sí solos la evolución temporal del proceso. En cambio, Kp, T0 y Tp definen directamente una aproximación de primer orden con tiempo muerto, conocida como FOPDT.

Disponer de este modelo significa que podemos hacer algo más que calcular constantes. Podemos simular la respuesta del proceso ante cambios de OP y cerrar virtualmente el lazo con distintas sintonías para comparar cómo evolucionan PV y OP antes de probar los parámetros sobre el proceso real.

La simulación sigue siendo una aproximación. El proceso real puede contener dinámicas no representadas por el modelo, ruido, saturaciones, no linealidades o cambios con el punto de operación. Aun así, permite comparar sintonías, detectar ajustes claramente agresivos y entender el efecto de cada parámetro sin experimentar continuamente sobre la instalación.

Por este motivo, siempre que sea posible y seguro abrir el lazo, resulta preferible identificar el proceso mediante un escalón y obtener Kp, T₀ y Tp. Además de disponer de numerosas reglas de sintonía, obtenemos un modelo que podemos utilizar para simular. Cuando abrir el lazo no sea viable o pueda comprometer el proceso, recurriremos a una identificación en lazo cerrado y trabajaremos con Ku y Tu.

Métodos basados en la respuesta a escalón

Los ensayos de lazo abierto nos permiten aproximar el proceso mediante una respuesta de primer orden con tiempo muerto. A partir de Kp, T0 y Tp existen numerosos métodos de sintonía. Entre los más conocidos se encuentran Ziegler-Nichols en lazo abierto, Cohen-Coon y los métodos basados en IMC o SIMC.

No es necesario memorizar todas las ecuaciones disponibles. Para mantener un enfoque práctico vamos a resumir esta familia en tres referencias como Ziegler-Nichols, Cohen-Coon e IMC/SIMC. Lo importante es comprender qué parámetros utiliza cada regla, qué tipo de respuesta busca y tomar el resultado como un punto de partida que después podremos simular y validar.

Ziegler-Nichols

Ziegler y Nichols desarrollaron varias reglas de sintonía que se han convertido en una referencia histórica. Su principal ventaja es la sencillez, pero los ajustes obtenidos suelen ser relativamente agresivos y pueden producir sobreimpulso y cierta oscilación. Esto no significa que el método sea incorrecto, sino que responde a un criterio de ajuste determinado que no necesariamente coincide con nuestro objetivo.

Para el modelo FOPDT identificado mediante Kp, T0 y Tp, las reglas clásicas de respuesta a escalón son:

Controlador	Reglas de sintonía
P	$K_c=\frac{T_p}{K_pT_0}$
PI	$\begin{aligned} K_c&=0.9\frac{T_p}{K_pT_0}\\ T_i&=\frac{T_0}{0.3}\approx3.33T_0 \end{aligned}$
PID	$\begin{aligned} K_c&=1.2\frac{T_p}{K_pT_0}\\ T_i&=2T_0\\ T_d&=0.5T_0 \end{aligned}$

En muchas aplicaciones actuales preferiremos una respuesta algo más lenta o equilibrada pero con mayor robustez y menor actividad de la salida. Por ese motivo, Ziegler-Nichols resulta especialmente útil como referencia y punto de comparación, no necesariamente como la sintonía definitiva de cualquier proceso.

Cohen-Coon

Cohen-Coon parte de una aproximación de primer orden con tiempo muerto, por lo que encaja de forma natural con la identificación obtenida mediante el ensayo de escalón. Utiliza explícitamente Kp, T0 y Tp y tiene en cuenta la relación existente entre el tiempo muerto y la dinámica del proceso.

Para escribir las reglas de una forma compacta definimos primero la relación entre el tiempo muerto y la constante de tiempo:

Las reglas de Cohen-Coon quedan entonces:

Controlador	Reglas de sintonía
P	$K_c=\frac{T_p}{K_p T_0}\left(1+\frac{r}{3}\right)$
PI	$K_c=\frac{T_p}{K_p T_0}\left(0.9+\frac{r}{12}\right) \\T_i=T_0\frac{30+3r}{9+20r}$
PID	$K_c=\frac{T_p}{K_p T_0}\left(\frac{4}{3}+\frac{r}{4}\right) \\T_i=T_0\frac{32+6r}{13+8r} \\T_d=T_0\frac{4}{11+2r}$

Esto es importante porque dos procesos pueden tener la misma ganancia y, sin embargo, ser completamente diferentes desde el punto de vista del control. Si uno comienza a responder prácticamente de inmediato y el otro tarda veinte segundos en mostrar cualquier cambio, el segundo exige una sintonía bastante más prudente. El tiempo muerto es especialmente problemático porque durante ese intervalo el controlador está actuando sin poder observar todavía el efecto de sus decisiones.

Internal Model Control

Los métodos basados en Internal Model Control introducen la idea desde un punto de vista práctico de que no tenemos por qué buscar siempre la respuesta más rápida posible. Podemos elegir conscientemente un compromiso entre rapidez y robustez. Una sintonía algo más conservadora puede tolerar mejor el ruido, los errores de identificación, los cambios de carga y las variaciones de las condiciones de operación.

A diferencia de Ziegler-Nichols o Cohen-Coon, estos métodos introducen un parámetro adicional que no obtenemos durante la identificación, sino que elegimos nosotros. En la bibliografía suele representarse mediante $\lambda$ en IMC o mediante $\tau_c$ en SIMC. Para simplificar la nomenclatura utilizaremos en ambos casos $T_f$, que representará la constante de tiempo deseada del lazo cerrado.

Conviene distinguir claramente que los parámetros $K_p$, $T_0$ y $T_p$ describen el proceso y proceden de la identificación, mientras que $T_f$ lo elegimos nosotros para determinar cómo queremos que responda el sistema controlado.

IMC

Para el modelo FOPDT identificado mediante $K_p$, $T_0$ y $T_p$, una regla IMC habitual para un controlador PI es:

Controlador	Reglas de sintonía
PI	$K_c=\frac{T_p}{K_p(T_f+T_0)}\\T_i=T_p$

El parámetro $T_f$ nos permite modificar directamente el compromiso entre rapidez y robustez. Un valor pequeño produce una respuesta más rápida y una ganancia del controlador mayor. Si aumentamos $T_f$, disminuye $K_c$ y obtenemos una respuesta más lenta, pero también más tolerante a errores del modelo y variaciones del proceso.

Por tanto, $T_f$ no es una característica identificada del proceso, como sí lo es $T_p$, sino un parámetro de diseño que escogemos durante la sintonía.

SIMC

SIMC parte de la misma filosofía, pero introduce una modificación especialmente interesante en el cálculo del tiempo integral. Para el mismo modelo FOPDT y un controlador PI:

Controlador	Reglas de sintonía
PI	$K_c=\frac{T_p}{K_p(T_f+T_0)}\\T_i=\min\left(T_p,4(T_f+T_0)\right)$

Podemos observar que la expresión de $K_c$ mantiene la misma estructura que en IMC. La diferencia principal aparece en $T_i$, que SIMC limita para evitar que la acción integral llegue a ser excesivamente lenta cuando $T_p$ tiene un valor elevado.

Como punto de partida para una respuesta relativamente rápida pero razonablemente robusta puede utilizarse:

Criterio	Elección
Sintonía inicial	$T_f=T_0$
Sintonía más conservadora	$T_f>T_0$

Aumentar $T_f$ reduce la agresividad del controlador. Por el contrario, utilizar valores demasiado pequeños puede proporcionar una respuesta más rápida, pero también aumenta la sensibilidad a errores de identificación, ruido y cambios en el comportamiento real del proceso.

Con el modelo FOPDT que hemos identificado mediante $K_p$, $T_0$ y $T_p$, estas reglas conducen de forma natural a un controlador PI. Las formulaciones SIMC para un PID completo resultan especialmente interesantes cuando disponemos de un modelo de segundo orden y, por tanto, de una segunda constante de tiempo. No tiene sentido introducir aquí una regla que necesite información que no hemos obtenido durante nuestra identificación.

El proceso real, además, nunca será exactamente idéntico al modelo obtenido durante la prueba. La carga puede variar, las condiciones de operación pueden cambiar, existirán perturbaciones y el actuador tampoco será perfecto. Por ese motivo, no buscar siempre la respuesta más rápida posible y conservar cierto margen de robustez suele ser una decisión acertada.

Métodos basados en Ku y Tu

Si hemos realizado una identificación en lazo cerrado tendremos Ku y Tu. Estos parámetros pueden proceder de una prueba clásica de oscilación mantenida o de un ensayo mediante relé. Existen reglas que permiten calcular directamente Kc, Ti y Td a partir de ellos sin obtener explícitamente Kp, T0 y Tp.

Una de las reglas más conocidas es nuevamente Ziegler-Nichols, pero en este caso utilizando la ganancia última y el periodo último:

Controlador	Reglas de sintonía
P	$K_c=0.5K_u$
PI	$K_c=0.45K_u \\T_i=\frac{T_u}{1.2}$
PID	$K_c=0.6K_u \\T_i=\frac{T_u}{2}\\T_d=\frac{T_u}{8}$

Estas reglas suelen producir una respuesta relativamente agresiva. Si buscamos una alternativa más amortiguada podemos utilizar, por ejemplo, Tyreus-Luyben, que parte exactamente de los mismos Ku y Tu:

Controlador	Reglas de sintonía
PI	$K_c=\frac{K_u}{3.2}\\T_i=2.2T_u$
PID	$K_c=\frac{K_u}{2.2}\\T_i=2.2T_u\\T_d=\frac{T_u}{6.3}$

Tyreus-Luyben reduce la ganancia y ralentiza la acción integral respecto a Ziegler-Nichols, por lo que normalmente proporciona una respuesta más conservadora. Lo importante es recordar que Ku y Tu permiten calcular la sintonía, pero no constituyen por sí solos el modelo FOPDT que necesitamos para realizar la simulación descrita anteriormente.

La ventaja de los métodos en lazo cerrado es que la identificación se realiza alrededor del punto de operación con el lazo controlado. La contrapartida es que para obtener Ku y Tu hemos tenido que provocar algún tipo de oscilación. Por esta razón la elección del método de identificación debe hacerse antes que la de la regla de sintonía.

De Kc, Ti y Td a Kc, Ki y Kd

Comprobar una sintonía

Una vez obtenidos los parámetros necesitamos comprobar el resultado. No basta con ejecutar el controlador y observar si PV termina cerca de SP. Debemos analizar cómo llega, cuánto sobreimpulso presenta, qué hace la salida y cómo responde ante perturbaciones.

Cambio de consigna

Una primera prueba consiste en modificar el SP y observar la respuesta. Podemos medir tiempo de subida, sobreimpulso, tiempo de estabilización y error final. Esta prueba es sencilla de reproducir y resulta útil para comparar sintonías.

Sin embargo, una respuesta excelente ante un cambio de SP no garantiza que el controlador rechace bien las perturbaciones.

Perturbaciones

Una perturbación modifica el proceso sin que nosotros cambiemos el SP. En nuestro ejemplo podemos mantener la consigna en 50°C y abrir temporalmente la cámara térmica, provocando una pérdida repentina de energía. El controlador debe detectar la desviación, aumentar la actuación y recuperar la temperatura.

Muchos lazos reales pasan mucho más tiempo rechazando perturbaciones que siguiendo cambios continuos de consigna, por lo que conviene probar ambas situaciones y no basar toda la valoración en cambios de SP.

Observar PV y OP

Una gráfica de PV puede parecer excelente y, sin embargo, ocultar un comportamiento poco deseable de OP. Una respuesta rápida conseguida a costa de hacer oscilar continuamente el actuador puede ser peor que otra algo más lenta pero estable.

En un proceso térmico puede significar una actuación innecesariamente agresiva. En una válvula puede traducirse en desgaste mecánico y en un motor en cambios continuos de par. Por eso una buena sintonía debe evaluarse observando conjuntamente SP, PV y OP, además de la frecuencia con la que la salida llega a saturación y la sensibilidad al ruido.

Refinar una sintonía calculada

Una vez llegados a este punto sí tiene sentido realizar pequeños ajustes empíricos. La diferencia es que ya no utilizamos prueba y error para encontrar una sintonía desde cero, sino para refinar unos parámetros obtenidos a partir de la identificación.

Comportamiento	Refinamiento orientativo
Respuesta demasiado agresiva	Reducir Kc.
Exceso de sobreimpulso	Aumentar Ti o reducir Ki.
Respuesta demasiado lenta	Valorar un aumento moderado de Kc.
Derivada muy nerviosa	Reducir Td/Kd o mejorar el filtrado.
OP satura frecuentemente	Revisar sintonía, límites y anti-windup.
Buen seguimiento de SP pero mal rechazo de perturbaciones	Reevaluar con perturbaciones como criterio.

En general resulta preferible una sintonía algo conservadora que una extremadamente rápida. El proceso real contiene ruido, cambia con las condiciones de operación y estará sometido a perturbaciones que probablemente no aparecieron durante el ensayo de identificación.

Cerrando el círculo

Hasta aquí hemos recorrido el procedimiento completo desde la definición del lazo hasta la validación de una sintonía, además de definir variables, elegir la estructura del controlador, identificar el proceso, calcular la sintonía, trasladarla a nuestra formulación, implementar el algoritmo y comprobar su respuesta. En el cuarto y último artículo veremos qué partes de este trabajo pueden asumir las librerías disponibles para Arduino y qué herramientas existen para identificación y autotuning.

El PID deja así de ser tres constantes que modificamos hasta conseguir que algo funcione. Tenemos un proceso que podemos observar, caracterizar y controlar de una forma razonablemente sistemática, utilizando una cantidad de matemáticas reducida pero suficiente para entender qué estamos haciendo. El siguiente paso será comparar este desarrollo propio con librerías de control y autotuning y, sobre todo, entender qué hace realmente cada una antes de utilizarla.

Serie Introducción al PID y su implementación en Arduino

• Artículo 1: Entender e implementar antes de sintonizar
• Artículo 2: Identificación de procesos para la sintonía de un PID
• Artículo 3: Métodos de sintonía PID a partir de la identificación del proceso
• Artículo 4: Librerías PID y herramientas de identificación para Arduino

Lectura recomendada

[1] Tore Hägglund. Process Control in Practice. De Gruyter, 2023. eBook ISBN: 978-3-11-110495-9.

[2] Karl J. Åström, Tore Hägglund. Control PID avanzado. Pearson Educación, 2009. ISBN: 978-84-8322-511-0.

[3] Daniel Chuk. Los sistemas de primer orden y los controladores PID. 2012. [Link] [Link2]

[4] Fernando Morilla García. ¿Qué quieres controlar? ¿Has probado con controladores PID? Dpto. de Informática y Automática, UNED, 2015. [Link]

[5] Carlos E. Garcia, Manfred Morari. Internal Model Control. A Unifying Review and Some New Results. Industrial & Engineering Chemistry Process Design and Development, Vol. 21, No. 2, pp. 308–323, 1982. DOI: 10.1021/i200017a016.

[6] Daniel E. Rivera, Manfred Morari, Sigurd Skogestad. Internal Model Control: PID Controller Design. Industrial & Engineering Chemistry Process Design and Development, Vol. 25, No. 1, pp. 252–265, 1986. DOI: 10.1021/i200032a041. [Link]

[7] Sigurd Skogestad. Simple Analytic Rules for Model Reduction and PID Controller Tuning. Journal of Process Control, Vol. 13, No. 4, pp. 291–309, 2003. DOI: 10.1016/S0959-1524(02)00062-8. [Link]